通常，深度学习模型被视为一个“黑箱”。大家普遍了解它能够从数据中学习，但其真正的学习机制究竟是怎样的，却常常令人费解。
本文将直接在Excel中构建一个微型卷积神经网络（CNN），旨在帮助读者一步步深入理解CNN在图像处理中的实际工作原理。
通过这种方式，读者可以直观地观察到CNN的每一个运算步骤，从而透彻理解构成“深度学习”基石的各项计算。
本文是关于在Excel中实现机器学习与深度学习算法系列文章的一部分。相关的Excel文件可通过以下Kofi链接获取。
1. 机器如何“看懂”图像？
1.1 图像中目标检测的两种主要方法
当尝试在图片中检测一个物体，例如一只猫时，主要有两种方法：确定性方法和机器学习方法。下面将通过识别图片中猫的例子来探讨这两种方法的运作方式。
确定性方法意味着需要手动编写规则。
例如，可以定义猫具有圆脸、两只三角形耳朵、一个身体、一条尾巴等特征。因此，开发者需要完成所有规则的定义工作。
随后，计算机运行这些预设规则，并给出一个相似度评分。
通过确定性方法检测图像中的猫 — 作者绘制
机器学习方法则意味着无需手动编写规则。
相反，通过向计算机提供大量包含猫的图片和不含猫的图片示例，机器将自主学习猫的特征。
通过机器学习方法检测图像中的猫 — 作者绘制（猫咪由AI生成）
正是这一点，让事物变得有些神秘。
通常认为机器能自主学习规则，但关键在于其具体学习机制。
实际上，仍然需要明确指导机器如何创建这些规则。而且这些规则必须是可学习的。因此，核心问题是：如何定义将要使用的规则类型？
要理解如何定义规则，首先必须理解图像的本质。
1.2 理解图像的本质
虽然猫是一种复杂的形态，但我们可以选择一个简单明了的例子：识别MNIST数据集中的手写数字。
首先，图像究竟是什么？
数字图像可以被视为一个像素网格。每个像素都对应一个数字，表示其亮度，从0（白色）到255（黑色）。
在Excel中，可以使用一个表格来表示这个网格，其中每个单元格对应一个像素。
MNIST手写数字 — 图像来自MNIST数据集 https://en.wikipedia.org/wiki/MNIST_database (CC BY-SA 3.0)
手写数字的原始尺寸是28 x 28。但为简化起见，本文将使用一个10×10的表格。它足够小，便于快速计算，同时又足够大，能展示数字的整体形状。
因此，将对维度进行缩减。
例如，手写数字“1”在Excel中可以表示为一个如下所示的10×10网格。
图像是数字网格 — 作者绘制
1.3 深度学习之前：图像识别的传统机器学习方法
在使用CNN或任何深度学习方法之前，已能通过逻辑回归或决策树等传统机器学习算法识别简单图像。
在这种方法中，每个像素都成为一个特征。例如，一个10×10的图像有100个像素，因此有100个特征作为输入。
算法随后学习将像素值模式与“0”、“1”或“2”等标签关联起来。
传统机器学习用于图像识别 — 作者绘制
事实上，通过这种简单的机器学习方法，逻辑回归就能取得相当不错的结果，准确率可达90%左右。
这表明传统模型能够从原始像素值中学习到有用的信息。
然而，它们存在一个主要局限性：将每个像素视为独立值，而未考虑其相邻像素。结果，它们无法理解像素间的空间关系。
因此，可以预见，对于复杂图像，其性能表现将不尽如人意。所以这种方法不具扩展性。
现在，如果读者已了解传统机器学习的工作原理，便会明白其中并无魔法。实际上，读者已经知道该怎么做：需要改进特征工程步骤，对特征进行转换，以从像素中提取更有意义的信息。
2. 在Excel中一步步构建CNN
2.1 从复杂CNN到Excel中的简化模型
谈及卷积神经网络时，常会见到非常深且复杂的架构，例如VGG-16。许多层、成千上万个参数以及无数次操作，使其看起来异常复杂，让人觉得不可能完全理解其工作原理。
VGG16架构 — 作者绘制
这些层背后的核心思想是：逐步检测模式。
以手写数字为例，可以提出一个问题：最简单的CNN架构可能是什么样的？
首先，对于隐藏层，在构建所有层之前，先减少其数量。具体多少层？只设一层。没错：仅此一层。
至于滤波器（或称卷积核）的维度呢？在真实的CNN层中，通常使用3×3的滤波器来检测小尺寸模式。但此处将从大尺寸开始。
多大呢？10×10！
是的，为什么不呢？
这也意味着无需在图像上滑动滤波器。通过这种方式，可以直接比较输入图像与滤波器，观察它们匹配的程度。
这种简化的案例并非为了追求性能，而是为了清晰地展示原理。
它将逐步揭示CNN如何检测模式。
现在，需要定义滤波器的数量。可以设定为10个，这是最小值。为什么？因为有10个数字，所以至少需要10个滤波器。下一节将探讨如何找到它们。
在下图中，展示了这种最简单的CNN神经网络架构图：
最简化的CNN架构 — 作者绘制
2.2 训练滤波器（或自主设计）
在真实的CNN中，滤波器并非手动编写。它们是在训练过程中学习得到的。
神经网络会调整每个滤波器内部的数值，以检测最有助于识别图像的模式。
在本文的Excel简化示例中，将不进行滤波器的训练。
相反，将手动创建它们，以理解它们所代表的含义。
由于已知手写数字的形状，可以设计出与每个数字形态相似的滤波器。
例如，可以绘制一个与数字0形状匹配的滤波器，另一个与数字1匹配，以此类推。
另一种选择是取每个数字所有示例图像的平均值作为滤波器。
这样，每个滤波器将代表一个数字的“平均形状”。
这正是人类与机器之间界限再次显现之处。可以选择让机器自动发现这些滤波器，或者利用先验知识手动构建它们。
没错：机器不会定义操作的性质。是机器学习研究人员定义它们。机器只擅长执行循环，为这些定义的规则找到最优值。而在简单的情况下，人类总是优于机器。
因此，如果只需定义10个滤波器，可以直观地知道如何直接定义这10个数字，并了解这些滤波器的性质。当然，也有其他选项。
现在，要定义这些滤波器的数值，可以直接运用已知知识，也可以利用训练数据集。
下图展示了通过对每个手写数字的所有图像取平均值创建的10个滤波器。每个滤波器都呈现出定义数字的典型模式。
平均值作为滤波器 — 作者绘制
2.3 CNN如何检测模式
现在已经有了滤波器，接下来需要将输入图像与这些滤波器进行比较。
CNN中的核心操作被称为互相关（cross-correlation）。它是让计算机在图像中匹配模式的关键机制。
它通过两个简单步骤完成：
- 值相乘/点积： 提取输入图像中的每个像素，并将其与滤波器中相同位置的像素相乘。这意味着滤波器“查看”图像的每个像素，并衡量其与滤波器中存储模式的相似程度。如果两个值都很大，结果也会很大。
- 结果相加/求和： 这些乘积随后被加在一起，生成一个单一的数字。这个数字表示输入图像与滤波器的匹配强度。
单张图像的互相关操作示例 — 作者绘制
在本文的简化架构中，滤波器与输入图像（10×10）具有相同的尺寸。
因此，滤波器无需在图像上移动。
相反，互相关操作仅应用一次，直接将整个图像与滤波器进行比较。
这个数字表示图像与滤波器内部模式的匹配程度。
如果滤波器类似于手写数字“5”的平均形状，那么较高的得分则意味着该图像很可能就是数字“5”。
通过对所有滤波器（每个数字一个）重复此操作，可以确定哪个模式提供了最高的匹配度。
2.4 在Excel中构建一个简单的CNN
现在可以从头到尾创建一个小型CNN，以实践方式观察整个过程的运作。
- 输入： 一个10×10的矩阵，代表待分类的图像。
- 滤波器： 定义十个10×10尺寸的滤波器，每个滤波器代表一个从0到9的手写数字的平均图像。这些滤波器充当每个数字的模式检测器。
- 互相关： 每个滤波器被应用于输入图像，生成一个单一的分数，衡量图像与该滤波器模式的匹配程度。
- 决策： 具有最高分数的滤波器给出预测的数字。在深度学习框架中，这一步通常由Softmax函数处理，该函数将所有分数转换为概率。
在本文的Excel简化版本中，直接取最大分数足以确定图像最可能代表哪个数字。
输入数字与十个平均数字滤波器的互相关操作。最高分数（经Softmax归一化）识别输入为“6” — 作者绘制
2.5 卷积还是互相关？
此时，读者可能会疑惑，既然描述的操作实际上是互相关，为何仍称之为卷积神经网络？
两者的区别微妙但简单：
- 卷积（Convolution）意味着在滤波器在图像上滑动之前，将其水平和垂直翻转。
- 互相关（Cross-correlation）意味着直接应用滤波器，不进行翻转。
欲了解更多信息，可以阅读相关文章。
由于某些历史原因，“卷积”一词沿用至今，尽管CNN中实际执行的操作是互相关。
正如所见，在大多数深度学习框架（如PyTorch或TensorFlow）中，执行“卷积”时实际使用的是互相关。
互相关与卷积 — 作者绘制
简而言之：
CNN在命名上是“卷积的”，但在实践中是“互相关的”。
3. 构建更复杂的CNN架构
3.1 使用小尺寸滤波器检测更精细的模式
在前面的例子中，使用了单个10×10的滤波器来将整个图像与一个模式进行比较。
这足以理解互相关的原理以及CNN如何检测图像与滤波器之间的相似性。
现在可以更进一步。
不再使用一个全局滤波器，而是使用几个较小的滤波器，每个尺寸为5×5。这些滤波器将着眼于图像的较小区域，检测局部细节而非整体形状。
以应用于手写数字的四个5×5滤波器为例。
输入图像可以被切割成4个较小的5×5像素部分，每个部分对应一个滤波器。
仍然可以使用所有数字的平均值作为初始滤波器。这样，每个滤波器将产生4个值，而非一个。
CNN中用于数字识别的小尺寸滤波器 — 作者绘制
最后，可以应用Softmax函数来获得最终预测。
但在这种简单情况下，也可以直接将所有值求和。
3.2 当数字不在图像中心时如何处理？
在之前的示例中，滤波器与图像的固定区域进行比较。一个直观的问题是，如果目标物体不在中心位置怎么办？是的，它可能出现在图像的任何位置。
解决方案实际上非常基础：只需在图像上滑动滤波器。
再次举一个简单例子：输入图像的尺寸是10×14。高度不变，宽度为14。
所以滤波器仍然是10×10，它将水平滑动图像。然后，将得到5个互相关结果。
即使不确定图像中目标的位置，也无需担忧，因为可以简单地取这5个互相关结果中的最大值来解决问题。
这就是所谓的最大池化层。
简单CNN中的最大池化 — 作者绘制
3.3 CNN中常用的其他操作
本文尝试解释了CNN中每个组件的用途。
最重要的组件是输入与滤波器之间的互相关。此外，还解释了小尺寸滤波器的作用，以及最大池化如何处理图像中可能出现在任何位置的目标。
CNN中还常用其他步骤，例如连续使用多个层或应用非线性激活函数。
这些步骤使模型更具灵活性、更鲁棒，并能够学习更丰富的模式。
它们具体为何有用？
将这个问题留给读者作为思考练习。
既然读者已理解核心思想，可以尝试思考这些步骤如何进一步提升CNN的能力，并尝试在Excel中构建具体的示例。
总结
在Excel中模拟CNN是一个有趣且实用的方法，它能直观地展示机器如何识别图像。
通过处理小型矩阵和简单的滤波器，可以深入理解CNN的核心工作步骤。
