人工智能：解开数学难题的新钥匙

人工智能在棋类游戏中取得了突破性的进展，例如国际象棋，通常只需40步就能完成一局。如今，为了帮助解决世界上最棘手的数学问题，研究人员开发了一种新的AI模型，它可以找到需要数千甚至数百万步才能完成的复杂解决方案。他们认为，为这项任务而构建的新算法有朝一日可能有助于检测飓风和金融崩溃等罕见事件，这些事件虽然罕见，但一旦发生就会造成灾难性的影响。

科学家们越来越关注AI解决数学问题的能力。例如，谷歌DeepMind的AlphaProof在2024年国际数学奥林匹克竞赛中取得了与银牌得主相当的成绩，这是一项高中级别的数学竞赛。OpenAI的o3系统最近在数学、科学和计算机编程的基准问题上表现出色。

在一项尚未经过同行评审的新研究中，加州理工学院的研究人员及其同事着手解决更具挑战性的数学问题，这些问题困扰着专业数学家数十年。

“当涉及到你在数学奥林匹克竞赛中可能遇到的问题时，它们通常是涉及30到40步的证明，与一盘平均的国际象棋游戏处于同一数量级，”加州理工学院理论物理和数学教授谢尔盖·古科夫说。“我们专注于复杂的、研究级别的数学问题，这些问题的解决方案涉及数千、数百万甚至数十亿步。”

最终，“我希望我们能够利用AI解决千禧年大奖难题，”古科夫说，指的是一项涉及世界上最难数学问题的竞赛。“这可能是我过于乐观了，但拥有目标很重要。目前，我们正试图专注于更低一级的难题，这些难题已经存在多年了。”

AI挑战安德鲁斯-柯蒂斯猜想

在这项新研究中，古科夫和他的同事们专注于安德鲁斯-柯蒂斯猜想，这是一个组合群论问题，最早是在60年前提出的。“组合群论是关于物体的变换，”古科夫说。“想象一下魔方。它是一个非常简单的群，具有基本的操作和变换——你可以垂直和水平地旋转魔方的不同平面。安德鲁斯-柯蒂斯猜想就像一个超级魔方——它不是一个3乘3乘3的群，而更像是一个100乘100乘100的群。”

虽然研究人员没有证明主要猜想，但他们的新系统反驳了相关的、被称为潜在反例的问题族，这些问题已经存在了大约25年。这些反例本质上是会反驳猜想的数学情况。排除这些反例增加了猜想为真的可能性。

为了解决这些问题，古科夫和他的同事们采用了一种策略，他们寻找意想不到的、复杂的解决方案。“如果你要求DeepSeek、o3、ChatGPT或类似的模型解决我们研究的任何问题，它们都无法找到答案，”他说。“它们擅长产生预期或典型的解决方案，模仿以前见过的东西。它们旨在成为通用模型。我们正在寻找难以找到的、在解决方案的统计分布中属于异常值的、很长的步骤序列。”

为了开发这些“超级移动”（研究人员称之为），古科夫和他的同事们使用了强化学习方法。他们首先让AI解决简单的难题，然后逐渐让它解决更难的难题。科学家们寻找不需要大量计算能力的策略；古科夫说，所有训练都在单个GPU上完成。

古科夫指出，在强化学习研究中，人们通常使用相同的10到15种算法。“我认为最令人兴奋的是，通过思考如何用这些非常长的时间范围来解决这些问题，我们开发了新的AI算法，”他说。

超越数学的潜在应用

这些新算法“可能在纯数学之外有许多应用，”古科夫说。“它们可以找到异常值、异常现象、黑天鹅事件——非常罕见的事件，但一旦发生就会付出沉重的代价。”这些事件的罕见性使得AI难以准确预测——它们的不寻常性质意味着预测模型几乎没有历史数据可以学习。预测这些事件中最可能和最灾难性的事件的能力可以帮助社会制定最佳的缓解策略。

古科夫的团队现在正在研究其他长期存在的数学问题，以帮助他们开发这些算法。他们在2月13日发表在ArXiv预印本服务器上的一项研究中详细介绍了他们的发现。