OpenAI 模型攻克数学界十个开放难题

OpenAI 希望为科学家和数学家提供加速发现的工具。为此，他们近期推出了面向学术研究者的 ChatGPT计划，向 10 万名科学家和数学家免费提供其最好的 ChatGPT 模型；同时也在模型开发过程中持续使用开放研究问题评估模型表现。

今年 5 月，OpenAI 曾分享过一个由 AI 生成的 Erdős 单位距离猜想的反例，该结果诞生于评估未发布模型时。这项工作已启发了数学和理论计算机科学领域的后续研究。今天，OpenAI 公布的是十个此类成果，针对的问题均至少十年没有实质性进展，多数问题甚至更久。这些难题覆盖高维几何、编码理论、算术电路复杂性、群论、算子代数、量子复杂性、格密码和极值组合学等领域。所有问题在各自领域都备受关注，其中几个在整个数学界有广泛影响。

以下十项结果均由 OpenAI 下一代主力模型 Astra 的内部版本完成。按 Sol API 价格计算，找到这些解所需的总 Token 数约合 2000 美元。人类研究人员使用同一模型将论证整理成论文稿，模型随后将每个论证形式化为 Lean 证书。OpenAI 还公布了每个解题过程的模型思维叙述。

高维球堆积：在 Cohn–Elkies 阈值以下得到球堆积密度的新上界。
二元码与球面码：在任意给定最小距离下，二元码最大规模的界得到指数级改进，并推广至高维球面码。
非 sofic 群：构造出非 sofic 群的存在性，解答群论的一个核心开放问题。
Connes 刚性猜想：否证了一个长期猜想——某些群由其 von Neumann 代数唯一决定。
算术电路复杂性：使用算术电路与公式计算积和式（permanent）的新下界，包括 n^4/log n 阶的算术公式下界。
量子并行重复：一般双人量子博弈的指数并行重复定理，将经典复杂性理论的基础原理推广到量子场景。
最近向量问题：证明最近向量问题的多项式因子近似困难性，这是与后量子密码相关的格论基础问题。
Ehrhart 体积猜想：在所有维度中确定质心是唯一内部格点的凸体的最大体积。
多色 Ramsey 数：证明多色三角形 Ramsey 数的超指数下界，解决 Erdős 问题 183。
极值数猜想：证明极值图论中的紧性和退化猜想，解决 Erdős 问题 146 和 180。

OpenAI 表示，具有数学研究能力的 AI 系统带来了科技公司无法单独回答的问题。关于 AI 在数学中的角色，他们尊重不同观点，包括《莱顿 AI 与数学宣言》签署者的关切。OpenAI 认为，署名应如实反映成果的产生方式：把 AI 独立生成的证明标为人类著作，既歪曲了系统的贡献，也不符合真正人类智力工作的本质。他们参与整理论文稿并形式化 Lean 证明，对正确性负责，但数学论证本身由系统生成。他们希望数学界深入检验这些结果，结合背景加以理解，并通过新的研究将其思想发扬光大。

随着 AI 系统进化为更成熟的研究伙伴，让更多研究者获得这些工具，将成为支持科学家和数学家在这一变革时期探索并定义学科未来的关键。

这项工作已启发的后续研究包括：和积猜想对实数不成立、分裂素数及 Elekes–Rónyai 问题、SETH 下超常数维最远点对需要二次时间、实数上点线关联的通信复杂性以及 Minkowski 网格具有大量重复距离。

原文链接：OpenAI Blog
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