一个300年的方程，如何串起AI、大脑和物理学

（来源：Grok 4）

18世纪出现了一个方程，数学家们称它为最美公式：

e^(iθ) = cos θ + i sin θ

看不懂没关系。关键是你沿着它往下走，会发现它悄悄解释了：为什么你的大脑不带GPS也不会迷路，为什么AI大模型能处理百万字的长对话，为什么AI安全研究里藏着一个没人愿意承认的盲点，以及为什么一百年前的物理学家们撞上了一个跟物理学毫不相关的真理。

这条线，从没上过高中数学课的人到专业研究者，都能看懂。

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1. 从来就不是两样东西

想象一个长度1的钟表指针，绕中心旋转。在任何时刻，你都可以用两个数描述指针尖的位置：左右（x）和上下（y）。三角函数里，x = cos θ，y = sin θ，θ是转过的角度。

大多数人把余弦和正弦当成两个相关的函数。但它们本来就不是两样东西。它们是同一个旋转点的两个“影子”。用复数（包含虚数单位 i）描述这个旋转点，整体就缩成了一个干净的对象：e^(iθ)。把它拆成“实部”和“虚部”，cos θ 和 sin θ 自然脱落——不是两个独立的量，而是同一运动在两个垂直方向上的投影。就像一枚旋转的硬币，从侧面看和从上面看形状不同，但硬币只有一个。

这个区分——事物本身 vs 你恰好看到的影子——是贯穿整篇文章的核心。数学家给它起了个正式名字：属性高于形状。“形状”就是你选择观察的坐标系、基或表示法。“属性”是无论你用什么透镜看都保持不变的东西。纸上画个圆是形状。生成它的规则——“到圆心的距离不变”——是属性。旋转这张纸、拉伸它、换成另一种描述语言，形状变了，属性幸存。

记住这个区分。后面所有的内容都是它的变体。

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2. 当旋转还不够——螺旋与记忆

欧拉公式是更一般情况的特例。如果让旋转的“生成器”携带一点额外信息——不只是纯旋转，而是旋转伴随稳定增长或衰减——那么轨迹不再是圆，而是螺旋——你在鹦鹉螺壳、飓风或星系旋臂里看到的形状。

优雅的部分：取螺旋的对数，它会变成一条直线。卷曲的螺旋和平直的线性增长是同一个对象，通过两种不同的透镜来看。这就是指数和对数互为逆运算的深层原因——一个把直线卷成曲线，另一个把曲线展开成直线。

现在有趣了。如果你让角度继续转，而不是每次转满360°就跳回“0”——你就得到了螺旋楼梯（数学上叫螺旋面）。站在底部朝上看，每一级台阶都像是直接叠在下面那级的正上方。但事实并非如此。每转一圈，你就上升一层。位置看起来相同，历史却不同。

这个想法值得好好想想，因为它提供了一种与众不同的理解记忆的方式。我们通常把记忆想象成文件柜——信息放在抽屉里，随时原封不动地取回。但螺旋楼梯暗示了另一种可能：记忆是走过的路径的形状，而不是存在盒子里的事实。现代神经科学确实支持这一点——人类记忆在每次回忆时都会被重建，被回忆过程本身轻微改写，而不是像磁带一样回放。没有抽屉。只有你去过的地方的形状。

这个想法的直接数学后代，工程上每天都在用，叫做拉普拉斯变换——一个把随时间变化的信号重新表达成两个数字的工具：振荡多快，增长或衰减多快。它本质上是一台把系统整个历史转换成另一种坐标系里单个数字的机器——并且它把应用数学里最难的操作之一（考虑系统对其过去输入的完整记忆）变成了简单的乘法。一种表示里的复杂，在另一种表示里变得微不足道。这种交换——一种形状下的困难操作，另一种形状下的简单操作——是你要记住的第二个想法。

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3. 同样的技巧，藏在你的手机里

故事从纯数学走出，直接进入你口袋里的设备。

现代AI语言模型——ChatGPT、Claude 等背后的系统——需要知道句子中单词的顺序。“狗咬人”和“人咬狗”用一模一样的单词，只是排列不同，含义完全相反。所以每个模型都需要某种方法告诉网络每个词在序列中的位置。

大多数现代AI系统采用的优雅方案叫做旋转位置编码（RoPE）。毫不夸张地说，这就是欧拉公式的直接应用。每个词的内部表示被分成若干2D小块，每个小块按单词在句子中的位置成比例地旋转——就是 e^(iθ)，θ 对应位置。不同的小块以不同速度旋转，快的处理精细的局部区别，慢的处理粗粒度的长距离结构——和拉普拉斯变换用“多个频率协同工作”来捕捉信号完整历史而不损失任何尺度分辨率的技巧一模一样。

工程师们没有发明别的方案是有原因的。给定这些模型用来比较两个词的数学运算（叫点积），旋转不仅仅是编码位置的一个好选择——它基本上是唯一能让工程师们真正想要的那个属性成立的选择：即“相距三个词”在文档开头和中间含义相同。这不是为了优雅。而是因为替代方案会留下可测量的漏洞——旧的编码方案在其训练范围内工作，范围外就会退化，而基于旋转的方案正好被设计成不会这样。

这也就是为什么让AI模型处理百万词的长上下文——公司们最近才实现——需要一小串聪明的修补（名字叫NTK缩放和YaRN），而不是一个干净的调整。这些修补要解决的问题在形状上与上述螺旋楼梯问题完全一致：在非常远的距离上，快速旋转的小块转了太多圈，导致位置变得模棱两可——纯粹因为巧合落在相同角度，从而与训练期间见过的位置无法区分。解决它意味着重新分配哪些小块处理“精细局部细节”、哪些处理“粗糙长程结构”——这是自然在数百万年前已经解决好的平衡术，这就引出了——

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4. 大脑抢先一步

2005年，神经科学家在大脑一个叫内嗅皮层的区域发现了一群奇怪的细胞。当动物在房间里走动时，这些“网格细胞”以惊人规整的蜂窝状位置模式放电——不是像简单位置传感器那样只在一个点，而是覆盖整个地板的重复六边形网格。这个模式如此精确、数学化，以至于发现者获得了诺贝尔奖。

多年来，直觉是逐个研究这些细胞——记录单个神经元，绘制它放电的位置，把这个神经元当成编码“那个位置”。这和早期AI可解释性研究默认采用的方法相同：把每个个体单元当作对应一个含义。

接着，2022年，Mosers领导的团队（就是发现网格细胞的那个实验室）同时记录了数百个神经元，并用拓扑学——研究在拉伸和弯曲下幸存形状的数学——分析了它们联合活动的形状。结果令人震惊：群体的联合活动并不分布在分散的、任意的空间里。它活在一个环面（甜甜圈形状）上——不管动物在哪个房间，这个环面基本保持不变。

没有哪个单个神经元“是”这个环面。环面是整个群体一起移动的属性，任何一个细胞都只是它的影子，就像一粒沙子无法告诉你沙丘的形状。而且和RoPE一样，大脑不只用一个尺度——它用了不同间距的网格模块（有细有粗）共同工作，解决了工程师后来用NTK缩放解决的相同模糊问题，用的是同样的数学，这是通过进化而不是研究论文实现的。

更令人惊叹的是：这不仅限于物理导航。在一项2016年的引人注目的研究中，研究人员让参与者通过调整卡通鸟的脖子长度和腿长度来在心理上改变它的形状——两个完全抽象的、非空间维度——从而在大脑扫描中发现了完全相同的六边形网格状特征。大脑用来知道你的身体在房间里在哪里的同一技巧，也用来组织抽象概念，只要这些概念能沿着少数几个平滑变化的维度展开。此后，网格状编码已经出现在嗅觉、社会等级、甚至完全没有物理位置的纯概念“空间”中。

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5. AI版这个想法悄悄地坏了

如果AI模型装进了比其维度更多的不同概念——而且有充分理由认为它们确实如此，因为典型模型有数千个内部维度，但可能需要表示数百万个想法——那么，和大脑一样，它需要一种压缩技巧。Anthropic的研究人员在一个玩具模型上精确展示了这一点：当你强制一个网络表示超过其容纳能力的概念时，这些概念不会被丢掉。它们会被打包在一起，以小的重叠角度相互排列，形成惊人规整的几何图案——成对的相对点、五边形、四面体——这和把电荷均匀分布在球面上以最小化相互排斥的解决方案是一样的。这种现象称为叠加，这就是为什么语言模型里单个神经元经常对一堆奇怪而不相关的东西有反应——很多时候根本不是“一个神经元，一个想法”，而是几个想法共享一个神经元的干涉模式。

为了解构这个混乱局面而建造的标准工具叫做稀疏自编码器（SAE）——它本质上是一段软件，试图把压缩的、重叠的表示重新扩展成单个可人类解释的概念。这里有个盲点：这些工具默认假设每个概念都是一个单一的、独立的直线方向。但在2024年，研究人员发现了一件从上述所有内容都可以预测的事情：模型表示的某些概念——比如星期几或一年中的月份——根本不是直线。它们是圆。真正的、不可简化的二维，就像余弦和正弦是同一个旋转点的两个维度，而不是两个独立的数字。一个只找直线的工具要么完全错过圆形概念，要么把它打碎成几十个碎片化的、每个都毫无意义的片段——对应它恰好注意到的圆的每个“切片”。

这不是假设的担忧。这些可解释性工具正越来越多地被AI公司用来验证模型内部是否隐藏着某些危险能力或隐藏目标。一个内建在测量工具本身架构里的盲点——不是一个会以明显错误形式出现的bug，而是一种结构性无法看到某些形状的能力——是一个严重但隐蔽的问题。与神经科学家们不同——他们从这种甜甜圈形状神经编码的理论想法（2010年代初）到真正验证它的硬件（2022年）花了大约十五年——AI领域没有任何可比的借口。检查圆形结构所需的每个数字都坐在文件里，随时可以分析。目前缺少的不是数据或工具——拓扑感知的方法已经存在，并且已经找到了星期几的圆——缺少的是这种检查尚未成为默认，而“假设一切都是直线”仍然是默认。

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6. 整个框架的极限

每个好想法都有边界，这个也不例外。网格细胞之所以工作得漂亮，是因为物理空间——以及脖子和腿实验中的抽象“鸟空间”——有少量且固定的平滑变化维度。你总是处在同样的两三个维度里的某个位置，永远不变。

人类语言不是这样的。一句关于星期几的句子需要一个圆。一句关于家谱的句子需要分层的树状结构。一句关于相对大小的句子需要一条直线。不存在一个拥有固定少量维度的单一“意义空间”，就像不存在一个单一的物理房间。相关形状随着每个新句子而改变。

AI语言模型似乎通过不为任何固定形状承诺来解决这个问题。关于“任务向量”的研究显示，当模型在提示中看到某个任务的几个例子时——即使它从未被明确训练过这个任务——它看起来会在运行中、在计算过程中即时构建一个关于那个具体任务的紧凑内部表示，然后使用它并丢弃它。权重从未改变。但那个时刻使用的形状是从上下文中新鲜组装出来的，就像演员可能根据他们扮演哪个角色、在哪个场景中，用同一个身体摆出完全不同的身体姿态和词汇。

这可以说是比以上所有都更难、更有趣的问题：不仅仅是“正在使用什么形状”，而是“系统如何决定构建什么形状，实时地，快到足以跟上逐字阅读的速度”。生物学里的网格细胞工具包不能完全解释这个，因为生物学从未真正需要解决这个问题——物理世界不会在句子之间改变它的维度。

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7. 想法背后的想法

退后一步看所有这一切——旋转的钟表指针、螺旋楼梯、AI位置编码、甜甜圈形状的大脑地图、藏在AI盲点里的圆——有一个问题在每个案例中都起了作用：

——是什么保持不变，而其他东西被允许改变？

这个问题在物理学里有个正式名称：诺特定理，由数学家埃米·诺特在1918年证明。它的内容（非正式表述）是，系统的每一个连续对称性——你可以变换系统而保持某些底层数量不变的方式——都对应着某个在系统演化过程中守恒、不变的数量。旋转系统而能量不变？能量守恒。平移系统而什么也不变？动量守恒。

这里有个细节把这个从“又一个漂亮的物理学事实”变成了以上所有内容真正的论题：诺特的原始证明根本没有用到任何物理学。 没有力定律，没有具体的运动方程——只有对称群和叫做“作用”量的纯数学。物理学只是它第一个被应用的地方。这个定理本身属于数学，而不是物理学，数学不知道也不关心你描述的是行星、神经元还是电子表格里的数字。

这个定理能走多远的一个证明：研究AI模型如何学习的研究人员——不是模型本身，而是训练过程，调整模型内部数值的梯度下降——最近显示了同一定理直接适用于该过程。网络架构中某些内置对称性（比如重新缩放某些权重而不改变网络计算的自由度）在训练过程中产生了真实的、数学上可证明的守恒量——这些量在网络学习过程中保持不变，就像能量在行星轨道中保持不变一样。不是从物理学借来的比喻。同一个定理，同一个证明技巧，被字面应用于AI诞生的机制。

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你该带走什么

你不需要记住欧拉公式、RoPE、网格细胞、叠加或诺特定理，就能带走真正重要的东西。

下次你面对一个看起来复杂的事物——系统、论点、组织、软件、关系——在每个其他问题之前，值得问一个问题：我看到的形状是什么，以及无论我通过什么形状看，都会保持不变的底层东西是什么？

始终如一地在不同地方问这个问题，你就会开始一遍又一遍地注意到同样几个深层结构——它们出现在300年前的方程里、老鼠大脑内置的GPS系统里、以及你阅读这篇文章时安静运行在你屏幕后面的代码里。

是同一个形状。只是不断穿上不同的外套。

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延伸阅读（深入每个线索）：Su 等人关于旋转位置编码（2021）；Gardner, Hermansen, Moser 等人，“网格细胞群体活动的环面拓扑”，《自然》（2022）；Constantinescu, O'Reilly & Behrens，“用网格状编码组织人类概念知识”，《科学》（2016）；Elhage 等人，“叠加的玩具模型”，Anthropic（2022）；Engels 等人，“并非所有语言模型特征都是线性的”（2024）；Hendel 等人，“上下文学习创建任务向量”（2023）；Kunin, Sagastuy-Brena, Ganguli, Yamins & Tanaka，“神经力学：深度学习动态中的对称性和破缺守恒律”（2021）。

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