流匹配的统一视角：从最优传输到薛定谔桥

生成建模最近收敛到了一个漂亮的问题：怎么把一个概率分布搬到另一个上？扩散模型的做法是先污染数据再加噪声，然后学逆向过程。流匹配更直接：它学一个速度场，让一团噪声连续地流到数据上，不需要逆过程。

本文带你走一遍这个思路和它衍生出的算法家族。从一个简单的位移向量开始，搭起流匹配，用最优传输配对改进，弯成薛定谔桥，最后复用训练好的场来解决逆问题。你会发现这五件事不是互不相干的五个方法，而是同一个对象的五种配置。

生成即传输

先固定两个分布：源分布 p0 是我们容易采样的（通常是标准高斯 N(0, I)），目标分布 p1 我们只能通过有限样本看到。目标是找一个映射，把源密度送到目标密度。

假设我们把源样本 x0 和数据样本 x1 配对。最直接的办法是走直线，位移为 Δ。沿这条直线插值，得到一个时间索引状态 xt，速度恒定为 Δ。每一对端点就是一个微小但确定的系统：从 x0 出发，以恒定速度 Δ，在 t=1 时刻到达 x1。问题在于生成时我们不知道 x1，只知道当前位置。所以我们要学一个速度场 vθ(x,t)，输入当前位置和时间，输出应该移动的速度。

有了这个场，采样就是解一个常微分方程（ODE）。从噪声出发，从 t=0 积分到 t=1，终点就是生成样本。整个推理过程就是一个 ODE 求解器。

这个框架有两个关键对象：概率路径决定了 x0 和 x1 如何随时间连接，以及路径上每点的目标速度 vt；速度场 vθ(x,t) 是我们训练出来的神经网络去匹配这个路径。其它所有东西都是如何把这两者接起来的选择。

回归到位移：流匹配的惊人一跳

流匹配的关键是：我们根本不需要知道全局动态，只需要把网络回归到每个端点对的条件速度上。

具体做法：采样一个数据点 x1，采样噪声 x0，再采样随机时间 t，构造插值状态 xt，让网络 vθ 去预测条件速度 ut。损失就是一个简单的回归。

背后有个了不起的结果：最小化这个条件损失的场，恰好能生成正确的边际概率路径。对通过某点 (x,t) 的所有端点对取平均，网络学到的是那里的期望速度，而这个期望场正是能把 p0 运输到 p1 的场。我们得到了可计算的逐样本损失，它的最优解顺便解决了一个不可解的传输问题。

对于直线校正路径，目标就是位移本身，损失变成了让网络学习每个时空点的平均位移。用 DeltaFlow 的代码，训练循环只需要两行：

from deltaflow.interpolants import LinearInterpolant
from deltaflow.losses import FlowMatchingLoss

loss_fn = FlowMatchingLoss(interpolant=LinearInterpolant())
loss = loss_fn(model, x1) 
loss.backward()

噪声被速度场重塑为双月数据

插值器拥有路径几何，损失拥有回归，模型拥有场。分开它们就能随意换一个而不影响其它，这也是本文接下来要拉的线。

选路：直线、方差保持还是薛定谔桥？

直线只是最简单的一种连接方式。插值器（interpolant）是一个规则，给定端点 x0、x1 和时间 t，返回插值状态 xt 和条件目标速度 ut。换插值器，保持损失和求解器不变，你就训练出了一个不同的生成模型。

线性校正路径

这是基线。速度和位移恒定，轨迹直线。这是 rectified flow 的几何。

式：xt = (1-t)x0 + t x1, ut = x1 - x0

方差保持路径

扩散模型不走直线，它们走一条弯曲的路径，让边际方差可控。这个几何也可以用三角调度的插值器重现。α²t + σ²t = 1 在每个时间都成立。t=0 时是纯噪声，t=1 时是纯数据。路径像扩散轨迹一样弯曲。关键是只有插值器变了，损失和 ODE 求解器都不用改。

from deltaflow.interpolants import VariancePreservingInterpolant
loss_fn = FlowMatchingLoss(interpolant=VariancePreservingInterpolant())
loss = loss_fn(model, x1)

薛定谔桥路径

直线是确定性的：给定 x0 和 x1，轨迹就定了。薛定谔桥问一个更软的问题：在所有从 x0 出发、到 x1 结束的随机过程里，哪个路径在相对熵意义上最接近纯布朗运动？

固定端点时，答案是布朗桥。直线加上噪声鼓包，中间鼓最大、两端为零，由参数 σ 控制扩散强度。若 σ=0，就退化为线性路径。把这个桥的条件速度回归到场上，训练的随机插值器会逼近噪声与数据之间的熵最优传输桥。

不同扩散强度下同端点对重复采样

模型回归的目标变了，但它最终生成的 ODE 仍是确定性的。

from deltaflow.interpolants import SchrodingerBridgeInterpolant
from deltaflow.trainer import OTCoupling

loss_fn = ConditionalFlowMatchingLoss(
    interpolant=SchrodingerBridgeInterpolant(sigma=1.0),
    coupling=OTCoupling(),
)
loss = loss_fn(model, x1)

这里出现了第二个旋钮：耦合（coupling），它带来的实际收益最大。

哪个噪声变成哪个数据？

回到最开始：我们把 x0 和 x1 配对画线。但到底哪个 x0 配哪个 x1？默认是独立配对，完全随机。这能用，但浪费。

问题出在交叉路径上。如果噪声任意分配给数据，两两之间的直线会互相穿插。在轨迹相交的地方，真正边际场需要平均矛盾的流速，于是学到的场是弯曲的——即便每条条件路径都是直线。弯曲的场需要很多小步才能准确积分。

最优传输耦合

每个 mini-batch 内部，解一个离散分配问题：把 n 个噪声样本匹配到 n 个数据样本，使总平方距离最小。这叫做 mini-batch 最优传输耦合，用匈牙利算法求精确解，也可以用贪心近似加速。让最近的端点配对，位移短，轨迹不打叉。边际路径更直，采样时 ODE 的积分步数大幅减少，质量不变。

from deltaflow.losses import ConditionalFlowMatchingLoss
from deltaflow.trainer import OTCoupling

loss_fn = ConditionalFlowMatchingLoss(coupling=OTCoupling()) 
loss = loss_fn(model, x1)

独立配对 vs OT配对的轨迹对比

这里有个更深的连接：这个硬零熵分配，正是静态薛定谔桥在扩散率趋于零时的极限。所以耦合旋钮和插值器旋钮，其实是同一个传输几何的两种视角。用最优传输配对端点，是让薛定谔桥近似在实践中变得紧凑的关键。

同一个训练循环，四种配置

上面所有方法都是同一个训练循环，只改两个参数：插值器和耦合。

四种配置的轨迹

最终样本

独立配对会扫出长而交叉的弧线，OT 配对则保持整齐的近平行束，传输成本更低。

让场变成样本：求解器

训练得到场，求解器通过积分 ODE 把它变成数据。最简单是显式欧拉，固定步长 h=1/N。计算便宜，但误差累积，场弯曲时需要很多步。二阶 Heun 步用梯形平均修正欧拉预测，每步两次场计算，但在低步数时准确度显著提升——这正是 OT 耦合带来的直路径擅长的区间。

from deltaflow.samplers import FlowSampler
samples = FlowSampler(model).sample(torch.randn(1000, 2), n_steps=50)

速度场的quiver图

这就是前面设计选择回报的时候：OT 耦合加二阶求解器，用几十步就到达数据流形，而不是扩散模型常见的几百步。

复用场解决逆问题

模块化设计的另一个好处：你有一个在干净数据上无条件下训练好的场。现在给你一个有损测量——遮挡图像、模糊扫描、降采样信号——让你重建出原始干净图像。形式上，给定测量算子 A 和观测 y，我们想从后验 p(x1 | y) 采样，而不是先验 p(x1)。

办法是引导采样 ODE。每一步我们已经有了当前状态 xt 和预测速度 vt。用 Tweedie 分解把它转成干净端点的估计 ˆx1，也就是场认为这条路要往哪去。然后用高斯似然评估这个估计对观测的解释程度，沿梯度方向调整一步。

from deltaflow.inverse import GaussianLikelihood, LinearTweedie, MaskOperator
from deltaflow.solvers import EulerSolver, PosteriorSolver

likelihood = GaussianLikelihood(y=y, operator=MaskOperator(mask), sigma=1.0)
solver = PosteriorSolver(
    base_solver=EulerSolver(model), 
    likelihood=likelihood,
    tweedie=LinearTweedie(),
    guidance_scale=0.5,
)
x = solver.sample(torch.randn(16, 1, 16, 16), n_steps=60)

去遮挡的后验均值逐步填充

先验流提出可行的干净数据，似然梯度让提议与测量一致。关键是完全复用训练好的场和欧拉求解器，对每种新退化都无需重新训练。

不止生成：检测与表示学习

DeltaFlow 的生成机制不限于生产样本。同一个条件场还可以用于检测和表示学习，无需修改架构。

检测作为条件流

把解剖标志点检测定义为条件流 p(标志点 | 图像)。X 光是条件，堆叠的标志点坐标是生成目标。场在条件图像下把噪声运到标志点位置。推断时采样就是检测，样本的散布就是天然的不确定性。

检测作为条件流，锚点检测结果

增量对齐损失用于表示学习

对条件场运行两次，一次有条件，一次无条件。两次内部特征之差 Δh 隔离了条件改变的东西，同时抵消了共享结构。在医学影像里共享结构是解剖结构，所以 Δh 成为抑制共享解剖内容的特征，只保留条件特有的信号。

对齐两个噪声级别视图的 Δh，训练一个骨干网络，其表示与底层解剖无关。用线性探针验证，预训练骨干的特征在四个数据集任务上达到几乎完美的精度，而随机初始化基线远低。特征 PCA 按数据集干净分离。

冻结骨干特征PCA

一个框架，六种组件

把上面的算法浓缩成一张图：插值器、耦合、求解器、似然。选一条噪声到数据的路径，选哪个噪声对应哪个数据，用单目标把场回归到路径速度，用求解器积分场，可选地注入测量似然解决逆问题。

统一框架图

流匹配、OT 耦合整流流、方差保持插值器、薛定谔桥、后验采样——不是五套库的代码，而是这些组件之间的五种接法。每个组件实现一次，方法就变成模块配置，而不是重写。

试试看

DeltaFlow 是一个围绕分布之差的 PyTorch 小库。所有组件都是可组合的原始构件。换掉插值器，加上耦合，包一个后验求解器——方法变了，训练循环不变。核心构件与领域无关，本文所有代码块都可以直接运行。

安装：pip install torchdeltaflow

代码、示例和图里的动画都在 github.com/phrugsa-limbunlom/deltaflow，文档在 phrugsa-limbunlom.github.io/deltaflow，PyPI 上叫 torchdeltaflow。

参考文献

[1] Y. Lipman et al. Flow Matching for Generative Modeling. ICLR, 2023. arXiv:2210.02747.
[2] A. Tong et al. Improving and Generalizing Flow-Based Generative Models with Minibatch Optimal Transport. TMLR, 2024. arXiv:2302.00482.
[3] N. Ma et al. SiT: Exploring Flow and Diffusion-Based Generative Models with Scalable Interpolant Transformers. 2024. arXiv:2401.08740.
[4] M. S. Albergo et al. Stochastic Interpolants: A Unifying Framework for Flows and Diffusions. 2023. arXiv:2303.08797.
[5] V. De Bortoli et al. Diffusion Schrödinger Bridge with Applications to Score-Based Generative Modeling. NeurIPS, 2021. arXiv:2106.01357.
[6] A. Tong et al. Simulation-Free Schrödinger Bridges via Score and Flow Matching. AISTATS, 2024. arXiv:2307.03672.
[7] J. Kim et al. FlowDPS: Flow-Driven Posterior Sampling for Inverse Problems. 2025. arXiv:2503.08136.
[8] M. Pourya et al. Flower: A Flow-Matching Solver for Inverse Problems. 2025. arXiv:2509.26287.
[9] J. Ho and T. Salimans. Classifier-Free Diffusion Guidance. 2022. arXiv:2207.12598.